第 3 讲 圆锥曲线中的热点问题高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真 题 感 悟1.(2018·浙江卷)已知点 P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点 A，B 满足AP＝2PB，则当 m＝________时，点 B 横坐标的绝对值最大.解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP＝2PB，得即 x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点 A，B 在椭圆上，所以得 y2＝m＋，所以 x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当 m＝5 时，点 B 横坐标的绝对值最大，最大值为 2.答案 52.(2018·北京卷)已知抛物线 C：y2＝2px 经过点 P(1，2).过点 Q(0，1)的直线 l 与抛物线C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 O 为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值.(1)解 因为抛物线 y2＝2px 过点(1，2)，所以 2p＝4，即 p＝2.故抛物线 C 的方程为 y2＝4x.由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0.设直线 l 的方程为 y＝kx＋1(k≠0).由得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意 Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得 k<1，又因为 k≠0，故 k<0 或 0b>0)，四点 P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.(1)解 由于点 P3，P4关于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P3，P4.又由＋>＋知，椭圆 C 不经过点 P1，所以点 P2在椭圆 C 上.因此解得故 C 的方程为＋y2＝1.(2)证明 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1...
