专题五 解析几何规范答题示范【典例 】 (12 分)(2017·全国Ⅱ卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：＋y2＝1 上，过 M作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP＝NM.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP·PQ＝1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.[信息提取]看到求点 P 的轨迹方程，想到先设出点的坐标，然后利用已知条件，采用代入法求轨迹方程；看到过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F，想到证明OQ⊥PF.[规范解答](1)解 设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，………………………………………………………………………………1 分由NP＝NM得：x0＝x，y0＝y，………………………………………………………………………………3 分因为 M(x0，y0)在 C 上，所以＋＝1，因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2.………………………………………………………………………………5 分(2)证明 由题意知 F(－1，0)，设 Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，………………………………………………………………………………7 分OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)，由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，………………………………………………………………………………9 分又由(1)知 m2＋n2＝2，故 3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，………………………………………………………………………………11 分又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.………………………………………………………………………………12 分[高考状元满分心得]写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设 P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝1 就得分.写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出 x0＝x，y0＝y，没有则不得分；第(2)问一定要写出OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分.[解题程序]第一步：设出点的坐标，表示向量NP，NM；第二步：由NP＝2NM，确定点 P，N 坐标等量关系；第三步：求点 P 的轨迹方程...
