二、综合性——着眼题型 凸显能力数学文化 三角与向量 解析几何与向量 函数与不等式 概率与实际应用 直线与圆锥曲线试题的综合性是高考试题的重中之重，其主要特征是多知识点的交汇，条件和结论由紧密相关的知识构成，是知识网的具体体现，该类问题多呈现在向量与三角、向量与解析几何、概率与应用、直线与圆锥曲线、函数与不等式、数列与方程或函数、平面几何与立体几何等等．解答此类问题必须注意以下三点：(1)理清知识体系．(2)建立知识网络关系．(3)注重目标的达成．综合性典例解析核心素养数学文化1.(2018·高考全国卷Ⅰ)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边BC，直角边 AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则( )A.p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3[目标] 考查数学文化与几何概型，考查圆与三角形面积和运算求解能力解析：选 A.法一：设直角三角形 ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为 S1＝bc，区域Ⅱ的面积 S2＝π×＋π×－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以 S1＝S2，由几何概型的知识知 p1＝p2，故选A.法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则 BC＝2，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为 S1＝×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－＝2，区域Ⅲ的面积 S3＝－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得 p1＝p2＝，p3＝，所以 p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选 A.续 表综合性典例解析核心素养数学文化2.(2018·高考全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴解析：选 C.不超过 30 的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，从中随机选取两个不同的数有 C 种不同的取赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30＝7＋23.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )A. B.C. D.[目标] 考查数学文化与古典概型，考查素数的定义与性质和运算求解能力法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的有 3 对，所以所求概率 P＝＝，故选 C.三角与向量3.(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝( )A.30° B．45°C．60° D．12...
