第二讲 数列的综合应用[考情分析]数列在解答题中的考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前 n 项和与第 n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前 n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．试题难度中等.年份卷别考查角度及命题位置2017Ⅱ 卷等差、等比数列的综合应用·T17Ⅲ 卷已知递推关系求通项与裂项求和·T172016Ⅱ 卷等差、等比数列的基本运算·T17Ⅲ 卷数列的递推关系式、等比数列的定义·T17[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若 a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若 T3＝21，求 S3.解析：设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，则 an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由 a2＋b2＝2 得 d＋q＝3. ①(1)由 a3＋b3＝5 得 2d＋q2＝6. ②联立①和②解得(舍去)，因此{bn}的通项公式为 bn＝2n－1.(2)由 b1＝1，T3＝21 得 q2＋q－20＝0，解得 q＝－5，q＝4.当 q＝－5 时，由①得 d＝8，则 S3＝21.当 q＝4 时，由①得 d＝－1，则 S3＝－6.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前 n 项和．解析：(1)因为 a1＋3a2＋…＋(2n －1)an＝2n，故当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n －1)an＝2，所以 an＝(n≥2)．又由题设可得 a1＝2，符合上式，从而{an}的通项公式为 an＝.(2)记{}的前 n 项和为 Sn.由(1)知＝＝－.则 Sn＝－＋－＋…＋－＝.3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足 a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求 a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解析：(1)由题意可得 a2＝，a3＝.(2)由 a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0 得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因此{an}的各项都为正数，所以＝.故{an}是首项为 1，公比为的等比数列，因此 an＝.4．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 3 的等差数列，数列{bn}满足 b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前 n 项和．解析：(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得 a1＝2.所以数列{an}是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 an＝3n－1.(2)由(1)知， anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得 bn＋1＝，因此{bn}是首项为 1，公比...
