高考数学二轮复习 考前冲刺三 第三类 立体几何问题重在“建”——建模、建系学案 理-人教版高三全册数学学案

第三类 立体几何问题重在“建”——建模、建系立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型及平面化模型；建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【例 3】 (2017·全国Ⅲ卷)如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC；(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D－AE－C 的余弦值.(1)证明 由题设可得，△ABD≌△CBD.从而 AD＝DC，又△ACD 为直角三角形，所以∠ADC＝90°，取 AC 的中点 O，连接 DO，BO，则 DO⊥AC，DO＝AO，又由于△ABC 是正三角形，故 BO⊥AC，所以∠DOB 为二面角 D－AC－B 的平面角.(建模)在 Rt△AOB 中，BO2＋OA2＝AB2，又 AB＝BD，所以 BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°，所以平面 ACD⊥平面 ABC.(2)解 由题设及(1)知，OA，OB，OD 两两垂直，以 O 为坐标原点，OA的方向为 x 轴正方向，OB为 y 轴正方向，OD为 z 轴正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，(建系)则 O(0，0，0)，A，D，B，C(－1，0，0)，由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的，即 E 为 DB 的中点，得 E，故AE＝，AD＝，OA＝.设平面 AED 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，平面 AEC 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，则即取 n1＝(1，，1)，即取 n2＝(0，－1，)，若二面角 D－AE－C 为 θ，易知为锐角，则 cos θ＝＝.所以二面角 D－AE－C 的余弦值为.探究提高 1.(1)建模：构建二面角的平面角模型.(2)建系：以两两垂直的直线为坐标轴.2.破解策略：立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定，因此，复习备考时往往有“纲”可循，有“题”可依.在平时的学习中，要加强“一题两法(几何法与向量法)”的训练，切勿顾此失彼；要重视识图训练，能正确确定关键点或线的位置，将局部空间问题转化为平面问题；能依托于题中的垂直条件，建立适当的空间直角坐标系，将几何问题化归为代数问题.【训练 3】 (2018·日照一模)如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB，CB∥DA，EA＝DA＝AB＝2CB，EA⊥AB...