第 2 讲 函数的单调性与最值一、知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数 y＝f(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对于任意两数 x1，x2∈A当 x1 f ( x 2)，那么，就称函数 y＝f(x)在区间 A 上是减少的，有时也称函数 y＝f(x)在区间 A 上是递减的(2)单调区间和函数的单调性① 如果 y＝f(x)在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称 A 为单调区间．② 如果函数 y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数 y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数 y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值前提设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意的 x∈I，都有 f ( x )≤ M ；(2)存在 x∈I，使得 f ( x ) ＝ M (1)对于任意的 x∈I，都有f ( x )≥ M ；(2)存在 x∈I，使得 f ( x ) ＝ M 结论M 为最大值M 为最小值常用结论1．函数单调性的两种等价形式设任意 x1，x2∈[a，b]且 x1≠x2，(1)＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．2．五条常用结论(1)对勾函数 y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．(2)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(3)函数 f(g(x))的单调性与函数 y＝f(u)，u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．1(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、教材衍化1．函数 f(x)＝x2－2x 的递增区间是________．答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数 y＝(2k＋1)x＋b 在 R 上是减函数，则 k 的取值范围是________．解析：因为函数 y＝(2k＋1)x＋b 在 R 上是减函数，所以 2k＋1＜0，即 k＜－.答案：3．已知函数 f(x)＝，x∈[2，6]，则 f(x)的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数 f(x)＝在[2，6]上为减函数，所以 ...
