高考数学二轮复习 考前冲刺三 第五类 解析几何问题重在“设”——设点、设线学案 理-人教版高三全册数学学案

第五类 解析几何问题重在“设”——设点、设线解析几何试题知识点多、运算量大、能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.【例 5】 (2017·全国Ⅰ卷)设 A，B 为曲线 C：y＝上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4.(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM⊥BM，求直线 AB 的方程.解 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4.(设点)于是直线 AB 的斜率 k＝＝＝1.(2)由 y＝，得 y′＝.设 M(x3，y3)，由题设知＝1，解得 x3＝2，于是 M(2， 1).设直线 AB 的方程为 y＝x＋m，(设线)故线段 AB 的中点为 N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将 y＝x＋m 代入 y＝得 x2－4x－4m＝0.当 Δ＝16(m＋1)>0，即 m>－1 时，x1，2＝2±2.从而|AB|＝|x1－x2|＝4.由题设知|AB|＝2|MN|，即 4＝2(m＋1)，解得 m＝7.所以直线 AB 的方程为 x－y＋7＝0.探究提高 1.(1)设点：设出 A，B 两点坐标，并得出 x1≠x2，x1＋x2＝4.(2)设线：由(1)知直线斜率，再设直线方程为 y＝x＋m，利用条件可求出 m 的值.2.破解策略：解析几何的试题常要根据题目特征，恰当地设点、设线，以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等，常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有 y＝kx＋b、x＝my＋n 及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等.【训练 5】 (2018·昆明教学质量检测)在直角坐标系 xOy 中，已知定圆 M：(x＋1)2＋y2＝36，动圆 N 过点 F(1，0)且与圆 M 相切，记动圆圆心 N 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)设 A，P 是曲线 C 上两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 B(异于点 P)，若直线 AP，BP 分别交x 轴于点 S，T，证明：|OS|·|OT|为定值.(1)解 因为点 F(1，0)在圆 M：(x＋1)2＋y2＝36 内，所以圆 N 内切于圆 M，则|NM|＋|NF|＝6>|FM|，由椭圆定义知，圆心 N 的轨迹为椭圆，且 2a＝6，c＝1，则 a2＝9，b2＝8，所以动圆圆心 N 的轨迹方程为＋＝1.(2)证明 设 P(x0，y0)，A(x1，y1)，S(xS，0)，T(xT，0)，则 B(x1，－y1)，由题意知 x0≠±x1，则 kAP＝，直线 AP 的方程为 y－y1＝kAP(x－x1)，令 y＝0，得 xS＝，同理，xT＝＝，|OS|·|OT|＝|xSxT|＝＝，又 P(x0，y0)和 A(x1，y1)在椭圆＋＝1 上，故 y＝8，y＝8，则 y－y＝(x－x)，xy－xy＝8x－8x＝8(x－x)，所以|OS|·|OT|＝＝＝9(定值).