第 3 讲 函数的奇偶性与周期性基础知识整合1．函数的奇偶性2．函数的周期性(1)周期函数对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有□ f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个□ 最小 的正数，那么这个□ 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0.(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．周期性的三个常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a；(2)若 f(x＋a)＝，则 T＝2a；(3)若 f(x＋a)＝－，则 T＝2a(a>0)．3．对称性的三个常用结论(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称；(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称；(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． 1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝12x3＋x2，则 f(2)＝( )A．－20 B．20 C．－12 D．12答案 D解析 f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.故选 D.2．(2019·大连测试)下列函数中，与函数 y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A．y＝－ B．y＝log2|x|C．y＝1－x2 D．y＝x3－1答案 C解析 函数 y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项 B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项 C 符合要求．3．(2019·石家庄模拟)已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数，若 f(1)<1，f(5)＝，则实数 a 的取值范围为( )A．(－1,4) B．(－2,1) C．(－1,2) D．(－1,0)答案 A解析 因为函数 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数，所以 f(5)＝f(－1)＝f(1)，即<1，化简得(a－4)(a＋1)<0，解得－1
