第 3 讲 函数的奇偶性与周期性基础知识整合1．函数的奇偶性2．函数的周期性(1)周期函数对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有□ f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个□ 最小 的正数，那么这个□ 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0
(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．周期性的三个常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a；(2)若 f(x＋a)＝，则 T＝2a；(3)若 f(x＋a)＝－，则 T＝2a(a>0)．3．对称性的三个常用结论(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称；(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称；(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． 1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝12x3＋x2，则 f(2)＝( )A．－20 B．20 C．－12 D．12答案 D解析 f(2
