第 3 讲 导数及其应用1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．2．利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型．3．导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现．热点一 导数的几何意义1．函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线 f(x)在点P 处的切线的斜率 k＝f′(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的不同．例 1 (1)(2017 届山东寿光现代中学月考)过点(0,1)且与曲线 y＝在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( )A．2x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋2＝0 D．x＋2y－2＝0答案 B解析 因为 y′＝＝－，故切线的斜率 k＝－，即所求直线的斜率 k＝2，方程为 y－1＝2(x－0)，即 2x－y＋1＝0.故选 B.(2)(2017 届成都一诊)已知曲线 C1：y2＝tx(y>0，t>0)在点 M 处的切线与曲线 C2：y＝ex＋1－1也相切，则 tln 的值为( )A．4e2B．8eC．2 D．8答案 D解析 曲线 C1：y＝，y′＝ .当 x＝时，y′＝，切线方程为 y－2＝，化简为 y＝x＋1.①与曲线 C2相切，设切点为(x0，y0)，y′|＝e＝，x0＝ln －1，那么 y0＝e－1＝－1，切线方程为 y－＝，化简为 y＝x－ln ＋－1，②①② 是同一方程，所以－ln ＋－1＝1⇔ln ＝，即 t＝4，那么 tln ＝4ln e2＝8，故选 D.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练 1 (1)(2017 届河北省正定中学期中)已知函数 f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′，f′(x)是 f(x)的导函数，则过曲线 y＝x3上一点 P(a，b)的切线方程为________．答案 3x－y－2＝0 或 3x－4y＋1＝0 解析 f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，f′＝3－2＝1，则 a＝1，点 P 的坐标为，若 P 为切点，y′＝3x2，曲线 y＝x3 在点 P 处切线的斜率为 3，切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2＝0；若 P 不为切点，设曲线 y＝x3的切线的切点为(m，n)，曲...
