第 3 讲 立体几何中的向量方法以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.热点一 利用向量证明平行与垂直设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α，β 的法向量分别为 μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.例 1 如图，在直三棱柱 ADE—BCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且互相垂直，点 M 为AB 的中点，点 O 为 DF 的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面 BCF；(2)平面 MDF⊥平面 EFCD.证明 方法一 (1)由题意，得 AB，AD，AE 两两垂直，以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.OM＝，BA＝(－1,0,0)，∴OM·BA＝0, ∴OM⊥BA. 棱柱 ADE—BCF 是直三棱柱，∴AB⊥平面 BCF，∴BA是平面 BCF 的一个法向量，且 OM⊄平面 BCF，∴OM∥平面 BCF.(2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． DF＝(1，－1,1)，DM＝，DC＝(1,0,0)，CF＝(0，－1,1)，由 得令 x1＝1，则 n1＝.同理可得 n2＝(0,1,1)． n1·n2＝0，∴平面 MDF⊥平面 EFCD.方法二 (1)OM＝OF＋FB＋BM＝DF－BF＋BA＝(DB＋BF)－BF＋BA＝－BD－BF＋BA＝－(BC＋BA)－BF＋BA＝－BC－BF.∴向量OM与向量BF，BC共面，又 OM⊄平面 BCF，∴OM∥平面 BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA 两两垂直， CD＝BA，FC＝BC－BF，∴OM·CD＝·BA＝0，OM·FC＝·(BC－BF)＝－BC2＋BF2＝0.∴OM⊥CD，OM⊥FC，又 CD∩FC＝C，CD，FC⊂平面 EFCD，∴OM⊥平面 EFCD.又 OM⊂平面 MDF，∴平面 MDF⊥平面 EFCD.思维升华 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线 a∥b，只需证明向量 a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．跟踪演练 ...
