双曲线问题考向一：双曲线的定义与焦点三角形1、在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2、在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a 平方，建立与|PF1|、|PF2|间的联系．1.［2016•全国Ⅱ，11］已知 F1、F2是双曲线 E：－＝1 的左、右焦点，点 M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝，则 E 的离心率为( )A． B． C． D．2答案 A解析：解法一：由 MF1⊥x 轴，可得 M，∴|MF1|＝.由 sin∠MF2F1＝，可得 cos∠MF2F1＝＝，又 tan∠MF2F1＝＝，∴＝，∴b2＝ac， c2＝a2＋b2∴c2－a2－ac＝0e2－e－1＝0，∴e＝.解法二：设|M F1|=m，则|M F2|=3m，|F1F2|=2 ❑√2m2a=|M F2|−|M F1|=2m，2c=|F1F2|=2 ❑√2m所以e=❑√22、[2014•大纲卷，9］已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1，F2，点 A 在 C 上．若|F1A|＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝( )A． B． C． D．答案 A解析：由题意得解得|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，又由已知可得＝2，所以 c＝2a，即|F1F2|＝4a，所以 cos∠AF2F1＝＝＝3、[2013•湖南卷，14］设 F1，F2是双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是 C 上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为 30°，则 C 的离心率为________．答案 解析：不妨设点 P 在双曲线 C 的右支上，由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，①又因为|PF1|＋|PF2|＝6a，②由①②得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，因为 c>a，所以在△PF1F2中，∠PF1F2为最小内角，因此∠PF1F2＝30°，在△PF1F2中，由余弦定理可知，|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos30°，即 4a2＝16a2＋4c2－8ac.所以 c2－2ac＋3a2＝0，两边同除以 a2得，e2－2e＋3＝0.解得 e＝.考向二：双曲线的标准方程1、［2016•全国Ⅰ，5］已知方程－＝1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则n 的取值范围是( )A．(－1，3) B．(－1，)C．(0，3) D．(0，)答案 A解析 原方程表示双曲线，且焦距为 4，∴①或②由①得 m2＝1，n∈(－1，3)．②无解2、[2014•北京卷，11］设双曲线 C 经过点(2，2)，且与－x2＝1 具有相同渐近线，则 C 的方程为________；渐近线方程为________．答案 －＝1；y＝±2x解析...
