第 2 课时 范围、最值问题范围问题【例 1】 (2018·贵阳监测)已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆 C 上的点到一个焦点的距离的最小值为－.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知过点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若在 x 轴上存在一点 E，使∠AEB＝90°，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．[解] (1)设椭圆的半焦距长为 c，则由题设有解得 a＝，c＝，∴b2＝1，故椭圆 C 的方程为＋x2＝1.(2)由已知可得，以 AB 为直径的圆与 x 轴有公共点．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点为 M(x0，y0)，将直线 l：y＝kx＋2 代入＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，Δ＝12k2－12，x1＋x2＝，x1x2＝.∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝，由题意可得解得 k4≥13，即 k≥或 k≤－.故直线 l 的斜率 k 的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．[规律方法] 求参数范围的四种方法1 函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.2 不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围.3 判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式 Δ 求参数的范围.4 数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解. (2019·临沂摸底考试)已知点 F 为椭圆 E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线＋＝1 与 y 轴交于 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同两点 A，B，若 λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数 λ 的取值范围．[解] (1)由题意得 a＝2c，b＝c，则椭圆 E 为＋＝1.由得 x2－2x＋4－3c2＝0. 直线＋＝1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M，∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，∴椭圆 E 的方程为＋＝1.1(2)由(1)得 M， 直线＋＝1 与 y 轴交于 P(0,2)，∴|PM|2＝，当直线 l 与 x 轴垂直时，|PA|·|PB|＝(2＋)(2－)＝1，∴由 λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝，当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，依题意得 x1x2＝，且 Δ＝48(4k2－1)＞0，∴k2＞，∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，∴λ＝， k2＞，∴＜λ＜1，综上所述，λ 的取值范围是.最值问题►考法 1 利用几何性质求最值问题【例 2...
