高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 热点探究课5 平面解析几何中的高考热点问题学案 文 北师大版-北师大版高三全册数学学案VIP专享

热点探究课(五) 平面解析几何中的高考热点问题(对应学生用书第 128 页)[命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．热点 1 圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的另一重点，涉及 a，b，c 三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点． (2018·太原模拟)如图 1，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQ⊥PF1.图 1(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率 e.[解] (1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故 a＝2.设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1⊥PF2，因此 2c＝|F1F2|＝＝＝2.3 分即 c＝，从而 b＝＝1，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.5 分(2)连接 F1Q，如图，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，又|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＝(2a－|PF1|)＋(2a－|QF1|)，可得|QF1|＝4a－2|PF1|. ①又因为 PF1⊥PQ 且|PF1|＝|PQ|，所以|QF1|＝|PF1|. ②8 分由①②可得|PF1|＝(4－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝(2－2)A．由 PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(4－2)2a2＋(2－2)2a2＝4c2，10 分可得(9－6)a2＝c2，即＝9－6，因此 e＝＝＝－.12 分[规律方法] 1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用．2．圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只需明确 a，b，c 中任意两量的关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制．[对点训练 1] 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线 x2＝4y 的焦点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线 y＝x－1 与抛物线相切于点 A，求以 A 为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程． 【导学号：00090306】[解] (1)椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，因为抛物线 x2＝4...