高考数学复习 专题03 立体几何 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离备考策略-人教版高三全册数学素材VIP专享

立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略主标题：立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：空间角，距离，备考策略难度：2重要程度：4内容考点一 求异面直线所成的角【例 1】 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点．已知 AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：(1)三角形 PCD 的面积．(2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小．解 (1)因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥CD.又 AD⊥CD，所以 CD⊥平面 PAD，从而 CD⊥PD.因为 PD＝＝2，CD＝2，所以三角形 PCD 的面积为×2×2＝2.图 1(2)法一 如图 1，取 PB 中点 F，连接 EF，AF，则 EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角．在△AEF 中，由于 EF＝，AF＝，AE＝PC＝2.则△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF＝.因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是.图 2法二 如图 2，建立空间直角坐标系，则 B(2,0,0)，C(2,2，0)，E(1，，1)，AE＝(1, ，1)，BC＝(0,2，0)．设AE与BC的夹角为 θ，则cos θ＝＝＝，所以 θ＝.由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是.【备考策略】本题可从两个不同 角度求异面直线所成的角，一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线 AC，BD 的夹角 β 的余弦值为 cos β＝.考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角【例 2】如 图 ， 在 直 棱 柱 ABCD － A1B1C1D1 中 ， AD∥BC ， ∠ BAD ＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值．思路 由 于在直棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，∠BAD＝90°，易于建立空间坐标系，可利用向量法求解．第(1)问 AC⊥B1D 转化为判定AC·B1D＝0；第(2)问可利用直线 B1C1的方向向量与平面 ACD1的法向量的夹角求解．(1)证明 法一 因为 BB1⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD.∴AC⊥BB1，又 AC⊥BD，∴AC⊥平面 BB1D，又 B1D⊂平面 BB1D，从而 AC⊥B1D.法二 易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0...