第 38 讲 数学归纳法考纲要求考情分析命题趋势了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.2015·陕西卷，212014·重庆卷，22数学归纳法一般以数列、集合为背景，用“归纳—猜想—证明”的模式考查.分值：0～5 分一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取 n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n＝1 时结论成立．( × )(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × )(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数都增加了一项．( × )(4)用数学归纳法证明不等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证 n＝1 时，左边式子应该为 1＋2＋22＋23.( √ )解析 (1)错误．用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n 为初始值时结论成立，不一定是 n＝1.(2)错误．不一定所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(3)错误．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数的增加根据题目而定．(4)正确．用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证 n＝1 时，左边式子应为 1＋2＋22＋23是正确的．2．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为条时，第一步检验 n＝( C )A．1 B．2 C．3 D．4解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验 n＝3.3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步 n＝k时等式成立，则当 n＝k＋1 时，应得到( D )A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1解析 由条件知，左边从 20,21到 2n－1都是连续的，因此当 n＝k＋1 时，左边应为 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为 2k＋1－1.4．用数学归纳法证明 12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，则从 n＝k到 n＝k＋1 时，等式左边应添加的式子是( B )A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2 D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1]解析 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，左边增加(k＋1)2＋k2，故选 B．5．用数学归纳法证明“当 n...
