矩阵与变换备考策略主标题：矩阵与变换备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：矩阵，二阶矩阵，变换，特征值，特征向量，备考策略难度：3重要程度：5内容考点一 矩阵与变换【例 1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知 a，b 是实数，如果矩阵 M＝所对应的变换将直线 x－y＝1 变换成 x＋2y＝1，求 a，b 的值．解 设点(x，y)是直线 x－y＝1 上任意一点，在矩阵 M 的作用下变成点(x′，y′)，则 ＝，所以因为点(x′，y′)，在直线 x＋2y＝1 上，所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即所以【备考策略】 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练 1】 已知变换 S 把平 面上的点 A(3,0)，B(2,1)分别变换为点 A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换 S 对应的矩阵 T.解 设 T＝，则 T：→＝ ＝＝，解得T：→＝ ＝＝，解得综上可知 T＝.考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组【例 2】 已知矩阵 M＝所对应的线性变换把点 A(x，y)变成点 A′(13,5)，试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标．解 依题意得由 M＝，得|M|＝1，故 M－1＝.从而由＝得＝＝＝，故∴A(2，－3)为所求．【备考策略】 求逆矩阵时，可用定 义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB)－1＝B－1A－1性质的应用．【训练 2】 已知矩阵 A＝，(1)求矩阵 A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组解 (1)法一 设逆矩阵为 A－1＝，则由＝，得解得 A－1＝.法二 由公式知若 A＝＝，(2)已知方程组可转化为即 AX＝B，其中 A＝，X＝，B＝，且由(1)，得 A－1＝.因此，由 AX＝B，同时左乘 A－1，有A－1AX＝A－1B＝＝.即原方程组的解为考点三 求矩阵的特征值与特征向量【例 3】 已知 a∈R，矩阵 A＝对应的线性变换把点 P(1,1)变成点 P′(3,3)，求矩阵 A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量．解 由题意 ＝＝，得 a＋1＝3，即 a＝2，矩阵 A 的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，令 f(λ)＝0，所以矩阵 A 的特征值为 λ1＝－1，λ2＝3.① 对于特征值 λ1＝－1，解相应的线性方程组得一个非零解因此，α＝是矩阵 A 的属于特征值 λ1＝－1 的一个特征向量；② 对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组得一个非零解因此，β＝是矩阵 A 的属于特征值 λ2＝3 的一个特征向...
