高考数学复习 专题15 解析几何 椭圆中的最值问题备考策略-人教版高三全册数学素材

椭圆中的最值问题备考策略主标题：椭圆中的最值问题备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词:椭圆，最值，备考策略难度：5重要程度：5考点一：求离心率的最值问题【例 1】若为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，求此椭圆离心率的最小值。分析：建立之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中的取值进行求解离心率的最值。解：不妨设，则，利用到角公式及得：（），又 点在 椭 圆 上 ， 故， 消 去， 化 简 得又即则， 从 而 转 化 为 关 于的 高 次 不 等 式 解 得。故椭圆离心率的最小值为。（或，得：，由，故）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）考点二：利用椭圆的定义求有关最值【例 2】已知点 P(-2,),F2为椭圆的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值。分析：欲求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义︱MF2︱=2a-︱MF1︱, F1为椭圆的左焦点。解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接 PF1延长PF1交椭圆于点 M1,延长 F1P 交椭圆于点 M2由三角形三边关系知–︱PF1︱︱MP︱-︱MF1︱︱PF1︱当且仅当 M 与 M1重合时取右等号、M 与 M2重合时取左等号。因为 2a=10, ︱PF1︱=2 所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12, （︱MP︱+︱MF2︱）min=8结论：设椭圆的左右焦点分别为 F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为 2a+︱PF1︱,最小值为 2a–︱PF1︱。考点三：利用二次函数法求有关最值问题【例 3】求定点 A(a,0)到椭圆上的点之间的最短距离。分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱PA︱，转化为 x,y 的函数，求最小值。解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，︱PA︱2=(x-a)2+y2 =(x-a)2+1-2=+1-a2由椭圆方程知 x 的取值范围是[-]（1）若︱a︱≤,则 x=2a 时︱PA︱min=（2）若 a>,则 x=时︱PA︱min=︱a－︱F2F1M1M2o（3）若 a<－,则︱PA︱min=︱a+︱结论：椭圆上的点 M(x,y)到定点 A(m,0)或 B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去 y 或 x,转化为二次函数求最值 ，注意自变量的取值范围。考点四：利用 三角函数法求有关最值问...