模块综合检测1.已知矩阵 M＝，求矩阵 M 的特征值与特征向量.【解】 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝＝λ2－3λ＋2，令 f(λ)＝0，解得 λ1＝1，λ2＝2，将 λ1＝1 代入二元一次方程组解得 x＝0，所以矩阵 M 属于特征值 1 的一个特征向量为；同理，矩阵 M 属于特征值 2 的一个特征向量为.2.已知在二阶矩阵 M 对应变换的作用下，四边形 ABCD 变成四边形 A′B′C′D′，其中A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，A′(3，－3)，B′(1，1)，D′(－1，－1).(1)求出矩阵 M；(2)确定点 D 及点 C′的坐标. 【导学号：30650064】【解】 设 M＝，则有＝，＝，所以解得所以 M＝.(2)由＝，得 C′(－3，3).由＝，得 D(1，－1).3.设曲线 2x2＋2xy＋y2＝1 在矩阵 A＝(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为 x2＋y2＝1.① 求实数 a，b 的值；② 求 A2的逆矩阵.【解】 ①设曲线 2x2＋2xy＋y2＝1 上任意点 P(x，y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 P′(x′，y′).由＝＝，得又点 P′(x′，y′)在 x2＋y2＝1 上，所以 x′2＋y′2＝1，即 a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.依题意得解得或因为 a>1，所以② 由①知，A＝，A2＝＝.所以|A2|＝1，(A2)－1＝.4.(江苏高考)已知矩阵 A＝，矩阵 B 的逆矩阵 B－1＝，求矩阵 AB.【解】 设 B＝，则 B－1B＝＝，即＝，故解得所以 B＝.因此，AB＝＝.5.曲线 x2＋4xy＋2y2＝1 在二阶矩阵 M＝的作用下变换为曲线 x2－2y2＝1.(1)求实数 a，b 的值；(2)求 M 的逆矩阵 M－1.【解】 (1)设 P(x，y)为曲线 x2－2y2＝1 上任意一点，P′(x′，y′)为曲线 x2＋4xy＋2y2＝1 上与 P 对应的点，则＝，即代入得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1，即得(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1，及方程 x2＋4xy＋2y2＝1，从而解得 a＝2，b＝0.(2)因为 M 的行列式为＝1≠0，M－1＝＝.6.已知矩阵 M＝，向量 α＝，求 M3α 的值.【解】 矩阵 M 的特征多项式f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)×＝λ2－2λ－8＝(λ＋2)(λ－4).令 f(λ)＝0，解得 λ1＝4，λ2＝－2.从而求得属于特征值 λ1＝4 的一个特征向量为，属于 λ2＝－2 的一个特征向量为.令 α＝＝m＋n，则 m＝，n＝，即＝×＋×，所以 M3α＝43××＋(－2)3××＝.7.假如曲线 x2＋4xy＋3y2＝1 在矩阵的作用下变换得到曲线 x2－y2＝1，求 a＋b.【解】 在曲线 x2＋4xy＋3y...
