立体几何中得“内切”与“外接”问题得探究1 球与柱体规则得柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够与球进行充分得组合以外接与内切两种形态进行结合，通过球得半径与棱柱得棱产生联系，然后考查几何体得体积或者表面积等相关问题、1.1 球与正方体如图 1 所示，正方体,设正方体得棱长为，为棱得中点，为球得球心。常见组合方式有三类：一就是球为正方体得内切球，截面图为正方形与其内切圆，则；二就是与正方体各棱相切得球，截面图为正方形与其外接圆，则；三就是球为正方体得外接球，截面图为长方形与其外接圆，则、通过这三种类型可以发现，解决正方体与球得组合问题，常用工具就是截面图，即根据组合得形式找到两个几何体得轴截面，通过两个截面图得位置关系，确定好正方体得棱与球得半径得关系，进而将空间问题转化为平面问题 。例 1 棱长为 1 得正方体得 8 个顶点都在球得表面上，分别就是棱，得中点，则直线被球截得得线段长为（ ）A． B． C．D．1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球、但就是不一定存在内切球、设长方体得棱长为其体对角线为、当球为长方体得外接球时，截面图为长方体得对角面与其外接圆，与正方体得外接球得道理就是一样得，故球得半径例 2 在长、宽、高分别为 2，2，4 得长方体内有一个半径为 1 得球，任意摆动此长方体，则球经过得空间部分得体积为( )A、B、4πC、D、1.3 球与正棱柱球与一般得正棱柱得组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目得解法——构造直角三角形法。设正三棱柱得高为，底面边长为，如图 2 所示，与分别为上下底面得中心。根据几何体得特点，球心必落在高得中点，，借助直角三角形得勾股定理，可求。例 3 正四棱柱得各顶点都在半径为得球面上，则正四棱柱得侧面积有最 值，为 、2 球与锥体规则得锥体，如正四面体、正棱锥、特别得一些棱锥等能够与球进行充分得组合，以外接与内切两种形态进行结合，通过球得半径与棱锥得棱与高产生联系，然后考查几何体得体积或者表面积等相关问题、2、1 球与正四面体正四面体作为一个规则得几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球得半径与正四面体得棱长关系。如图 4，设正四面体得棱长为，内切球半径为，外接球得半径为，取得中点为，为在底面得射影，连接为正四面体得高。在截面三角形,作一个与边与相切，圆心在高上得圆，即为内切球得截面...
