函数恒成立问题——参变分离法

学 科数学课题名称函数恒成立问题——参变分离法周次 教学目标教学重难点函数恒成立问题——参变分离法一、基础知识:1、参变分离:顾名思义,就就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量,另一个视为参数),可利用不等式得等价变形让两个字母分居不等号得两侧,即不等号得每一侧都就是只含有一个字母得表达式。然后可利用其中一个变量得范围求出另一变量得范围2、如何确定变量与参数:一般情况下,那个字母得范围已知,就将其视为变量,构造关于它得函数,另一个字母(一般为所求)视为参数。3、参变分离法得适用范围:推断恒成立问题就是否可以采纳参变分离法,可遵循以下两点原则:(1)已知不等式中两个字母就是否便于进行分离,假如仅通过几步简单变换即可达到分离目得,则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母得关系过于“紧密”,会出现无法分离得情形,此时要考虑其她方法。例如:,等(2)要瞧参变分离后,已知变量得函数解析式就是否便于求出最值(或临界值),若解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值),则也无法用参变分离法解决问题。(可参见”恒成立问题——最值分析法“中得相关题目)4、参变分离后会出现得情况及处理方法:(假设为自变量,其范围设为,为函数;为参数,为其表达式)(1)若得值域为 ①,则只需要 ,则只需要②,则只需要 ,则只需要③,则只需要 ,则只需要④,则只需要 ,则只需要(2)若得值域为 ① ,则只需要 ,则只需要(注意与(1)中对应情况进行对比)② ,则只需要 ,则只需要(注意与(1)中对应情况进行对比)③ ,则只需要(注意与(1)中对应情况进行对比) ,则只需要④ ,则只需要(注意与(1)中对应情况进行对比) ,则只需要5、多变量恒成立问题:对于含两个以上字母(通常为 3 个)得恒成立不等式,先观察好哪些字母得范围已知(作为变量),那个就是所求得参数,然后通常有两种方式处理(1)选择一个已知变量,与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数得一侧可以解出最值(同时消去一元),进而多变量恒成立问题就转化为传统得恒成立问题了。(2)将参数与变量进行分离,即不等号一侧只含有参数,另一侧就是双变量得表达式,然后按所需求得双变量表达式得最值即可。二、典型例题:例 1:已知函数,若恒成立,则实数得取值范围就是_______思路:首先转化不等式,,即恒成立,观察不等式与便于分离,考虑利用参变分离法,使分居不等式两侧,,若不等式恒成立,只需,令(解析式可瞧做关于得二次函数,故配方求最值),所以答案:例 2:已知函数,若在上恒成立,则得取值范围...