第 3 讲 导数的简单应用 考点 1 导数运算及几何意义1．导数公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a>0)；(4)(logax)′＝(a>0，且 a≠1)．2．导数的几何意义函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P处的切线的斜率 k＝f′(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．[例 1] (1)[2019·全国卷Ⅰ]曲线 y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________；(2)[2019·全国卷Ⅲ]已知曲线 y＝aex＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，则( )A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1【解析】 (1)本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．因为 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率 k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为 y＝3x.(2)本题主要考查导数的几何意义，考查的核心素养是数学运算．因为 y′＝aex＋ln x＋1，所以 y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为 y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得【答案】 (1)y＝3x (2)D1．求曲线 y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点 P(x0，y0)，求 y＝f(x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率为 k，求 y＝f(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求 y＝f(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程．2．[警示] 求曲线的切线方程时，务必分清点 P 处的切线还是过点 P 的切线，前者点 P为切点，后者点 P 不一定为切点，求解时应先求出切点坐标.『对接训练』1．[2019·云南师大附中适应性考试]曲线 y＝ax在 x＝0 处的切线方程是 xln 2＋y－1＝0，则 a＝( )A. B．2C．ln 2 D．ln解析：由题意知，y′＝axln a，则在 x＝0 处，y′＝ln a，又切点为(0,1)，∴切线方程为 xln a－y＋1＝0，∴a＝.故选 A.答案：A2．[2019·河北保定乐凯中学模拟 ]设函数 f(x)＝g(x)＋x2，曲线 y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为 y＝2x＋1，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )A...
