第 2 讲 平面向量的基本定理及坐标表示板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，称 e1，e2为基底．若 e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2分别为与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量，则称单位正交基底．考点 2 平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与 x 轴、 y 轴正方向相同 的两个单位向量 i，j 作为基底，对任一向量 a，有唯一一对实数 x，y，使得：a＝xi＋yj，( x ， y ) 叫做向量 a 的直角坐标，记作 a＝(x，y)，显然 i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0) ． 考点 3 平面向量的坐标运算1．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝( λx 1， λy 1)，|a|＝.2．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|AB|＝.考点 4 平面向量共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 ；(2)若 a≠0，则与 a 平行的单位向量为±.[必会结论]1．若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0.2．已知OA＝λOB＋μOC(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且 λ＋μ＝1 常被当作隐含条件运用．3．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)在等边三角形 ABC 中，向量AB与BC的夹角为 60°.( )(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成＝.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．[2018·郑州一模]设向量 a＝(x,1)，b＝(4，x)，若 a，b 方向相反，则实数 x 的值是( )A．0 B．±2 C．2 D．－2答案 D解析 由题意可得 a∥b，所以 x2＝4，解得 x＝－2 或 2，又 a，b 方向相反，所以 x＝－2.故选 D.3．[课本改编]已知点 A(－1,5)和向量 a＝(2,3)，若AB＝3a，则点 B 的坐标为( )A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14)答案 D解析...
