第 21 讲 不等式选讲1.[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求 a 的取值范围.[试做] 命题角度 含绝对值的不等式的解法含绝对值不等式的解题策略:关键一:运用分类讨论思想,根据零点分区间讨论;关键二:运用数形结合思想,利用绝对值的几何意义求解.2.[2017·全国卷Ⅱ] 已知 a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.[试做] 命题角度 不等式的证明不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中公式法常用的是基本不等式和柯西不等式.3.[2016·全国卷Ⅲ] 已知函数 f(x)=|2x-a|+a.(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集;(2)设函数 g(x)=|2x-1|,当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围.[试做] 命题角度 关于含绝对值不等式的恒成立问题解决恒成立问题主要利用转化思想,其思路为:①f(x)>a 恒成立⇔f(x)min>a;②f(x)
a 有解⇔f(x)max>a;④f(x)a 无解⇔f(x)max≤a;⑥f(x)0.(1)当 a=3 时,求不等式 f(x)≥5x+1 的解集;(2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值.[听课笔记] 【考场点拨】高考常考的含有绝对值的不等式的解法:(1)利用零点分区间讨论法.以绝对值的零点为分界点,将数轴分成几个区间,运用分类讨论思想对每个区间进行讨论.(2)利用绝对值的几何意义求解.即运用数形结合思想,将绝对值不等式与在数轴上的距离(范围)问题结合.解题时强调函数、数形结合与转化化归思想的灵活应用.(3)构造函数去解决.一般是把含有绝对值的式子构造为一个函数,剩余的部分构造成另一个函数,画出函数图像,利用数形结合的方法解决问题.【自我检测】已知函数 f(x)=|x+m|+|2x-1|.(1)当 m=-1 时,求不等式 f(x)≤2 的解集;(2)若 f(x)≤|2x+1|的解集包含 34 ,2 ,求实数 m 的取值范围.解答 2 不等式的证明2 已知函数 f(x)=|x+1|-|x-4|.(1)若 f(x)≤-m2+6m 恒成立,求实数 m 的取值范围;(2)在(1)的条件下,设 m 的最大值为 m0,a,b,c 均为正实数,当 3a+4b+5c=m0 时,证明:a2+b2+c2≥12.[听课笔记] 【考场点拨】高考中不等式证明的关注点:不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法...
