第 22 讲 不等式选讲1.[2018·全国卷Ⅱ]设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥0 的解集;(2)若 f(x)≤1,求 a 的取值范围.[试做] 2.[2018·全国卷Ⅰ]已知 f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集;(2)若 x∈(0,1)时不等式 f(x)>x 成立,求 a 的取值范围.[试做] 3.[2017·全国卷Ⅱ]已知 a>0,b>0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.[试做] (1)形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式主要有两种解法:① 分段讨论法:利用绝对值内表达式对应方程的根,将数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设 a0).(1)当 a=1 时,解不等式 f(x)>x-1;(2)若关于 x 的不等式 f(x)>4 有解,求 a 的取值范围.[听课笔记] 【考场点拨】(1)对于形如|f(x)|≥|g(x)|的不等式,可利用不等式两边平方的技巧去掉绝对值;(2)对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a,|f(x)|±|g(x)|≤a 的不等式,通常利用“零点”分区间法去掉绝对值.【自我检测】设函数 f(x)=|2x-7|+1.(1)求不等式 f(x)≤x 的解集;(2)若存在 x 使不等式 f(x)-2|x-1|≤a 成立,求实数 a 的取值范围. 解答 2 不等式的证明2 已知 a>0,b>0,且 a2+b2=2.(1)若 1a2+ 4b2≥|2x-1|-|x-1|恒成立,求 x 的取值范围;(2)证明:(1a + 1b)(a5+b5)≥4.[听课笔记] 【考场点拨】(1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法,也常用到基本不等式进行证明;(2)对于含有绝对值的不等式,在证明时常用到绝对值三角不等式;(3)对于含有根号的不等式,在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数);(4)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题,或以“至少”“至多”等方式给出,可以考虑反证法.【自我检测】已知关于 x 的不等式|12 x+m|≤|x+2|的解集为 R.(1)求实数 m 的值;(2)若 a,b,c>0,且 a+b+c=m,...
