高考数学总复习 专题7.4 基本不等式及其应用导学案 理-人教版高三全册数学学案

第四节 基本不等式及其应用最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.重要不等式a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)(当且仅当 a ＝ b 时等号成立)．2.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号.(3)其中称为正数 a，b 的算术平均数，称为正数 a，b 的几何平均数. 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.(3)≥(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当 a＝b 时取等号.4.利用基本不等式求最值已知 x≥0，y≥0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y 有最小值是 2(简记：积定和最小).(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大).5.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则不等式 f(x)＞A 在区间 D 上恒成立⇔f(x)min＞A；若f(x)在区间 D 上存在最大值，则不等式 f(x)＜B 在区间 D 上恒成立⇔f(x)max＜B.(2)能成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)＞A 成立⇔f(x)max＞A；若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)＜B 成立⇔f(x)min＜B.(3)恰成立问题：不等式 f(x)＞A 恰在区间 D 上成立⇔f(x)＞A 的解集为 D；不等式 f(x)＜B 恰在区间 D 上成立⇔f(x)＜B 的解集为 D.典型例题考点一 利用基本不等式证明不等式的方法【例 1】 已知 x＞0，y＞0，z＞0，求证：≥8.【证明 】 x＞0，y＞0，z＞0，∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，∴≥＝8，当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．规律方法 (1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从 整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分 放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【变式训练 1】已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.【证明 ...