第 2 课时 定点、定值、探索性问题题型一 定点问题典例 (2017·全国Ⅰ)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)，四点 P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆 C 上．(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)解 由于 P3，P4两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4两点．又由＋>＋知，椭圆 C 不经过点 P1，所以点 P2在椭圆 C 上．因此解得故椭圆 C 的方程为＋y2＝1.(2)证明 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2.如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x＝t，由题设知 t≠0，且|t|<2，可得 A，B 的坐标分别为，，则 k1＋k2＝－＝－1，得 t＝2，不符合题设．从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．将 y＝kx＋m 代入＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－，x1x2＝.而 k1＋k2＝＋＝＋＝.由题设知 k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得 k＝－.当且仅当 m>－1 时，Δ>0，于是 l：y＝－x＋m，即 y＋1＝－(x－2)，所以 l 过定点(2，－1)．思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．跟踪训练 (2017·长沙联考)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q，P，与椭圆分别交于点 M，N，各点均不重合且满足PM＝λ1MQ，PN＝λ2NQ.(1)求椭圆的标准方程；(2)若 λ1＋λ2＝－3，试证明：直线 l 过定点并求此定点．(1)解 设椭圆的焦距为 2c，由题意知 b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又 a2＝b2＋c2，∴a2＝3.∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明 由题意设 P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设 l 方程为 x＝t(y－m)，由PM＝λ1MQ知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，∴y1－m＝－y1λ1，由题意 y1≠0，∴λ1＝－1.同理由PN＝λ2NQ知 λ2＝－1. λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由题意知 Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②且有 y1＋y2＝，y1y...
