第四章 微分中值定理与导数得应用习题§４、1 微分中值定理1. 填空题(1）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立得 ξ 就是.（2)设,则有 ３ 个实根，分别位于区间中.2. 选择题(1)罗尔定理中得三个条件:在上连续,在内可导,且,就是在内至少存在一点,使成立得（ B ). A． 必要条件 B.充分条件 C. 充要条件 D． 既非充分也非必要条件（2)下列函数在上满足罗尔定理条件得就是( C ）．A、 B、 C、 Ｄ、 (3)若在内可导，且就是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立( Ｂ ).A. B. 在之间C. Ｄ. 3.证明恒等式：.证明: 令，则,所以为一常数.设，又因为,故 ．４．若函数在内具有二阶导数，且,其中 ,证明：在内至少有一点，使得.证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使. 同理存在，使. 又在上符合罗尔定理得条件,故有,使得．5. 证明方程有且仅有一个实根.证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个, 使得.另一方面，假设有,且，使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾.故方程只有一个实根.6. 设函数得导函数在上连续,且,其中就是介于之间得一个实数. 证明: 存在, 使成立、证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导.又因为,根据零点存在定理,必存在点，使得. 同理,存在点,使得．因此在上满足罗尔定理得条件,故存在， 使成立．7、 设函数在上连续， 在内可导、 试证：至少存在一点, 使 证明： 只需令,利用柯西中值定理即可证明、８．证明下列不等式(1)当时，.证明： 设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,且, 故, 即 (）因此, 当时,.(2)当 时,.证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有因为,所以,又因为，所以，从而 .§4、2 洛毕达法则１. 填空题(１) (２) ０ （3）= (4)１2.选择题（1)下列各式运用洛必达法则正确得就是( Ｂ )A. Ｂ. C. 不存在Ｄ. =(2) 在以下各式中，极限存在,但不能用洛必达法则计算得就是( C )A. Ｂ. Ｃ． D． 3. 求下列极限(１)． 解: =.(2）.解: ＝＝=． （３) . 解：＝=.(４) .解:＝=.(５). 解: ，==.（６) . 解:(7） . 解:.（8）. 解: ===.(9) .解: 因为,所以=1.§4、3 函数得单调性与曲线得凹凸性1. 填空题(1) 函数得单调增加区间就是,单调减少区间.(2)若函数二阶导数存在,且,则在上就是单调 增加 .(３）函数在内单调增加,则.(4)若点(1,3）为曲线得拐点,则,,曲线得凹区间为,凸区间为.２...
