第四章 微分中值定理与导数得应用习题§４、1 微分中值定理1
填空题(1）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立得 ξ 就是
（2)设,则有 ３ 个实根，分别位于区间中
选择题(1)罗尔定理中得三个条件:在上连续,在内可导,且,就是在内至少存在一点,使成立得（ B )
A． 必要条件 B
充分条件 C
充要条件 D． 既非充分也非必要条件（2)下列函数在上满足罗尔定理条件得就是( C ）．A、 B、 C、 Ｄ、 (3)若在内可导，且就是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立( Ｂ )
证明恒等式：
证明: 令，则,所以为一常数
设，又因为,故 ．４．若函数在内具有二阶导数，且,其中 ,证明：在内至少有一点，使得
证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使
同理存在，使
又在上符合罗尔定理得条件,故有,使得．5
证明方程有且仅有一个实根
证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个, 使得
另一方面，假设有,且，使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾
故方程只有一个实根
设函数得导函数在上连续,且,其中就是介于之间得一个实数
证明: 存在, 使成立、证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导
又因为,根据零点存在定理,必存在点，使得
同理,存在点,使得．因此在上满足罗尔定理得条件,故存在， 使成立．7、 设函数在上连续， 在内可导、 试证：至少存在一点, 使 证明： 只需令,利用柯西中值定理即可证明、８．证明下列不等式(1)当时，
证明： 设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,且, 故, 即 (）因此, 当时,
(2)当 时,
证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有因为,所以,又因为，所以，从而
§4、2 洛毕达法则１
填空题(１) (２) ０ （3）= (4)１
