指数函数与对数函数的关系课标解读课标要求核心素养1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,以及它们的图像间的对称关系.(重点)2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数函数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.(难点)1.通过反函数的概念及指数函数与对数函数图像间的关系的学习,培养直观想象的核心素养.2.借助指数函数与对数函数综合应用的学习,提升数学运算、逻辑推理的核心素养.观察下面的变换:y=axx=logayy=logax.问题 1:指数函数 y=ax的值域与对数函数 y=logax 的定义域是否相同?答案 相同.问题 2:指数函数 y=ax的定义域与对数函数 y=logax 的值域相同吗?答案 相同.1.反函数的概念与记法(1)反函数的概念:一般地,如果在函数 y=f(x)中,给定值域中任意一个 y 的值,只有①唯一的 x 与之对应,那么② x 是③y 的函数,这个函数称为 y=f(x)的反函数,此时,称 y=f(x)存在④反函数.(2)反函数的记法:一般地,函数 y=f(x)的反函数通常用⑤ y=f -1 (x) 表示. 思考:如何准确理解反函数的定义?什么样的函数存在反函数?提示 反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域,反函数也是函数,因为它符合函数的定义.对于任意一个函数 y=f(x),不一定总有反函数,只有当一个函数是单调函数时,这个函数才存在反函数.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数 y=ax与对数函数 y=logax⑥ 互为反函数.(2)指数函数 y=ax与对数函数 y=logax 的图像关于直线⑦ y=x 对称.探究一 求函数的反函数 例 1 求下列函数的反函数.(1)y=(13)x;(2)y=x2(x≤0).解析 (1)由 y=(13)x,得 x=log13y,且 y>0,所以 f-1(x)=log13x(x>0).(2)由 y=x2得 x=±❑√ y.因为 x≤0,所以 x=-❑√ y.所以 f-1(x)=-❑√ x(x≥0).1.(1)已知函数 y=ex的图像与函数 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称,则( )A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2×lnx(x>0)C.f(2x)=2ex(x∈R)D.f(2x)=ln2+lnx(x>0)(2)求函数 y=0.2x+1(x≤1)的反函数.答案 (1)D解析 (1)由题意知函数 y=ex与函数 y=f(x)互为反函数,y=ex>0,∴f(x)=lnx(x>0),则f(2x)=ln2x=ln2+lnx(x>0).(2)由 y=0.2x+1 得 x=log0.2(y-1),对换 x、y 得 y=log0.2(x-1). 原函数中 x≤1,∴y≥1.2,∴反函数的定义域为[1.2,+∞),因此 y=0.2x+1(x≤1)的反函数是y=log0.2(x-1),x∈[1.2,+∞).探究二 指数函数与对数函数图像之间的关系 例 2 (1)已知 a>0,且 a≠1,则函数 y=ax与...
