第 2 节 基本不等式及其应用最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号.(3)其中称为正数 a，b 的算术平均数，称为正数 a，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.3.利用基本不等式求最值已知 x≥0，y≥0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y 有最小值是 2(简记：积定和最小).(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大).[常用结论与微点提醒]1.＋≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号.2.ab≤≤.3.≤≤≤(a>0，b>0).4.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与≥成立的条件是相同的.( )(2)函数 y＝x＋的最小值是 2.( )(3)函数 f(x)＝sin x＋的最小值为 4.( )(4)x＞0 且 y＞0 是＋≥2 的充要条件.( )解析 (1)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；不等式≥成立的条件是 a≥0，b≥0.(2)函数 y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数 f(x)＝sin x＋的最小值为－5.(4)x>0 且 y>0 是＋≥2 的充分不必要条件.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( )A.80 B.77 C.81 D.82解析 xy≤＝81，当且仅当 x＝y＝9 时取等号.答案 C3.若函数 f(x)＝x＋(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于( )A.1＋ B.1＋ C.3 D.4解析 当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当 x－2＝(x>2)，即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a＝3.答案 C4.(2017·山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则 2a＋b 的最小值为________.解析 由题设可得＋＝1， a>0，b>0，∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8.故 2a＋b 的最小值为 8.答案 85.(教材习题改编)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为______m，宽为________m 时菜园面积最大.解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x＋2y＝30，所以 S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅...
