第 6 节 空间向量的应用第 1 课时 利用空间向量证明平行与垂直考试要求 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题；6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.知 识 梳 理1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重合，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量.(2)平面的法向量：直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1· n 2＝ 0 直线 l 的方向向量为 n，平面 α 的法向量为 ml∥αn⊥m⇔n · m ＝ 0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面 α，β 的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n · m ＝ 0 3.异面直线所成的角设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则a 与 b 的夹角 βl1与 l2所成的角 θ范围(0，π)求法cos β＝cos θ＝|cos β|＝4.求直线与平面所成的角设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos 〈 a ， n 〉 | ＝.5.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈 AB ， CD 〉 .(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝|cos 〈 n 1， n 2〉 | ，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角).6.点到平面的距离用向量方法求点 B 到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点 A，求向量AB到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面 α 的法向量为 n，点 B到平面 α 的距离 d＝.[微点提醒]1.平面的法向量是非零向量且不唯一.2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.3.线面角 θ 的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n 所成角的余弦值的绝对值，即 sin θ＝|cos〈a，n...
