第 3 讲 数列的综合问题[考情考向分析] 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．热点一 利用 Sn，an的关系式求 an1．数列{an}中，an与 Sn的关系an＝2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{an}中，满足 an＋1－an＝f(n)，且 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 an.(3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且 f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项 an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．例 1 已知等差数列{an}中，a2＝2，a3＋a5＝8，数列{bn}中，b1＝2，其前 n 项和 Sn满足：bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设 cn＝，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.解 (1) a2＝2，a3＋a5＝8，∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴an＝n(n∈N*)． bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)，①∴bn＝Sn－1＋2(n∈N*，n≥2)．②由①－②，得 bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N*，n≥2)，∴bn＋1＝2bn(n∈N*，n≥2)． b1＝2，b2＝2b1，∴{bn}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，∴bn＝2n(n∈N*)．(2)由 cn＝＝，得 Tn＝＋＋＋…＋＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减，得Tn＝＋＋…＋－＝1－，∴Tn＝2－(n∈N*)．思维升华 给出 Sn与 an的递推关系，求 an，常用思路：一是利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求 an.跟踪演练 1 (2018·绵阳诊断性考试)已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn满足：a1an＝S1＋Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令 bn＝log2，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.解 (1)由已知 a1an＝S1＋Sn，可得当 n＝1 时，a＝a1＋a1，解得 a1＝0 或 a1＝2，由{an}是正项数列，故 a1＝2.当 n≥2 时，由已知可得 2an＝2＋Sn，2an－1＝2＋Sn－1，两式相减得，2＝an，化简得 an＝2an－1，∴数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 an＝2n.∴数列{an}的通项公式为 an＝2n(n∈N*)．(2) bn＝log2，代入 an＝2n化简得 bn＝n－5，显然{bn}是等差数列，∴其前 n 项和 Tn＝＝(n∈N*)．热点二 数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作...
