高考专题突破一 高考中的导数应用问题【考点自测】1．若函数 f(x)＝2sin x(x∈[0，π])的图像在点 P 处的切线平行于函数 g(x)＝2 的图像在点 Q 处的切线，则直线 PQ 的斜率为( )A. B．2C. D.答案 A解析 f′(x)＝2cos x∈[－2,2]，g′(x)＝＋≥2(当且仅当 x＝1 时取等号)．当两函数的切线平行时，xp＝0，xQ＝1.即 P(0,0)，Q，∴直线 PQ 的斜率为.2．(2017·全国Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则 f(x)的极小值为( )A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1答案 A解析 函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则 f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由 x＝－2 是函数 f(x)的极值点，得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以 a＝－1.所以 f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．由 ex－1＞0 恒成立，得当 x＝－2 或 x＝1 时，f′(x)＝0，且当 x＜－2 时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1 时，f′(x)＜0；当 x＞1 时，f′(x)＞0.所以 x＝1 是函数 f(x)的极小值点．所以函数 f(x)的极小值为 f(1)＝－1.故选 A.3．(2018·西宁质检)若 f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减少的，则 b 的取值范围是( )A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)答案 C解析 由题意可知 f′(x)＝－x＋≤0 在(－1，＋∞)上恒成立，即 b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．由于 g(x)＝x(x＋2)在(－1，＋∞)上是增加的且 g(－1)＝－1，所以 b≤－1.故选 C.4．若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝ln x＋2 的切线，也是曲线 y＝ln(x＋1)的切线，则 b＝ .答案 1－ln 2解析 y＝ln x＋2 的切线方程为 y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为 x1)．y＝ln(x＋1)的切线方程为 y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为 x2)，∴解得 x1＝，x2＝－，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.5．(2017·江苏)已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－，其中 e 是自然对数的底数，若 f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数 a 的取值范围是 ．答案 解析 因为 f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)，所以 f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函数．因为 f(a－1)＋f(2a2)≤0，所以 f(2a2)≤－f(a－1)，即 f(2a2)≤f(1－a)．因为 f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，当且仅当 x＝0 时“＝”成立，所以 f(x)在 R 上是增加的，...
