第 3 讲 导数及其应用[考情考向分析] 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.3.导数与函数零点、不等式的结合常作为高考压轴题出现．热点一 导数的几何意义1．函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P处的切线的斜率 k＝f′(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的不同．例 1 (1)(2018·全国Ⅰ)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若 f(x)为奇函数，则曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x答案 D解析 方法一 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax 恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x.故选 D.方法二 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a 为偶函数，∴a＝1，即 f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x.故选 D.(2)(2018·雅安三诊)若曲线 y＝x2与曲线 y＝aln x 在它们的公共点 P 处具有公共切线，则实数 a 等于( )A．1 B. C．－1 D．2答案 A解析 曲线 y＝x2的导数为 y′＝，在 P(s，t)处的斜率为 k1＝.曲线 y＝aln x 的导数为 y′＝，在 P(s，t)处的斜率为 k2＝.由曲线 y＝x2与曲线 y＝aln x 在它们的公共点 P(s，t)处具有公共切线，可得＝，并且 t＝s2，t＝aln s，即∴ln s＝，∴s2＝e.可得 a＝＝＝1.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练 1 (1)(2018·全国Ⅱ)曲线 y＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为________．答案 2x－y－2＝0解析 因为 y′＝，y′|x＝1＝2，所以切线方程为 y－0＝2(x－1)，即 2x－y－2＝0...
