规范答题示例 9 导数与不等式的恒成立问题典例 9 (12 分)(2017·全国Ⅲ)已知函数 f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－－2.审题路线图 (1)―→―→――→―→.(2)―→―→―――――――――――――――――→.规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝(x>0).2 分若 a≥0，则当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增.4 分若 a<0，则当 x∈时，f′(x)>0；当 x∈时，f′(x)<0.故 f(x)在上单调递增，在上单调递减.6 分(2)证明 由(1)知，当 a<0 时，f(x)在 x＝－处取得最大值，最大值为 f＝ln－1－，8 分所以 f(x)≤－－2 等价于 ln－1－≤－－2，即 ln＋＋1≤0.9 分设 g(x)＝ln x－x＋1，则 g′(x)＝－1(x>0).当 x∈(0,1)时，g′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.故当 x＝1 时，g(x)取得最大值，最大值为 g(1)＝0.11 分所以当 x>0 时，g(x)≤0.从而当 a<0 时，ln＋＋1≤0，即 f(x)≤－－2.12 分第一步求导数：一般先确定函数的定义域，再求f′(x).第二步定区间：根据 f′(x)的符号确定函数的单调性.第三步寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题.第四步写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立问题.第五步再反思：查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理等.评分细则 第(1)问得分点说明：① 正确求出 f′(x)得 2 分；② 求出 a≥0 时，函数的单调性得 2 分；③ 求出 a<0 时，函数的单调性得 2 分．第(2)问得分点说明：① 正确求出 f(x)的最大值得 2 分；② 转化为关于 a 的不等式得 1 分；③ 构造函数并正确求出函数的最大值得 2 分；④ 正确写出结论得 1 分．跟踪演练 9 (2018·全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝－x＋aln x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)存在两个极值点 x1，x2，证明：
2，令 f′(x)＝0，得x＝或 x＝.当 x∈∪时，f′(x)<0；当 x∈时，f′(x)>0.所以 f(x)在，上单调递减，在上单调递增．(2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当 a>2.由于 f(x)的两个极值点 x1，x2满足 x2－ax＋1＝0，所以 x1x2＝1，不妨设 01.由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以
