第 3 讲 圆锥曲线中的热点问题高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真 题 感 悟 1.(2018·浙江卷)已知点 P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点 A，B 满足AP＝2PB，则当 m＝________时，点 B 横坐标的绝对值最大.解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP＝2PB，得即 x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点 A，B 在椭圆上，所以得 y2＝m＋，所以 x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当 m＝5 时，点 B 横坐标的绝对值最大，最大值为 2.答案 52.(2018·北京卷节选)已知椭圆 M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为 2.斜率为 k 的直线 l与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B.(1)求椭圆 M 的方程；(2)若 k＝1，求|AB|的最大值.解 (1)由题意得 2c＝2，c＝. e＝＝，∴a＝，则 b2＝a2－c2＝1.所以椭圆 M 的方程为＋y2＝1.(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).由得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0.所以 x1＋x2＝－，x1x2＝.|AB|＝＝＝＝.当 m＝0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为.3.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)，四点 P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.(1)解 由于点 P3，P4关于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P3，P4.又由＋>＋知，椭圆 C 不经过点 P1，所以点 P2在椭圆 C 上.因此解得故 C 的方程为＋y2＝1.(2)证明 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2.如果直线 l 的斜率不存在，l 垂直于 x 轴.设 l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，k1＋k2＝＋＝＝－1，得 m＝2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1).将 y＝kx＋m 代入＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－，x1x2＝.则 k1＋k2＝＋＝＋＝.由题设 k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.∴(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.解之得 m＝－2k－1，此时 Δ＝32(m＋1)>0，方程有解，...
