规范答题示例 8 解析几何中的探索性问题典例 8 (12 分)已知定点 C(－1,0)及椭圆 x2＋3y2＝5，过点 C 的动直线与椭圆相交于 A，B两点．(1)若线段 AB 中点的横坐标是－，求直线 AB 的方程；(2)在 x 轴上是否存在点 M，使MA·MB为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)→→(2)→→→规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板解 (1)依题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)，将 y＝k(x＋1)代入 x2＋3y2＝5，消去 y 整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.2 分设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由线段 AB 中点的横坐标是－，得＝－＝－，解得 k＝±，适合①.所以直线 AB 的方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y＋1＝0.4 分(2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0)，使MA·MB为常数．(ⅰ)当直线 AB 与 x 轴不垂直时，由(1)知 x1＋x2＝－，x1x2＝. ③所以MA·MB＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.7 分将③代入，整理得MA·MB＝＋m2＝＋m2＝m2＋2m－－.9 分注意到MA·MB是与 k 无关的常数，从而有 6m＋14＝0，解得 m＝－，此时MA·MB＝.10 分(ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时，此时点 A，B 的坐标分别为，，当 m＝－时，也有MA·MB＝.11 分综上，在 x 轴上存在定点 M，使MA·MB为常数.12 分第一步先假定：假设结论成立．第二步再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解．第三步下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设．第四步再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.评分细则 (1)不考虑直线 AB 斜率不存在的情况扣 1 分；(2)不验证 Δ>0，扣 1 分；(3)直线 AB 方程写成斜截式形式同样给分；(4)没有假设存在点 M 不扣分；(5)MA·MB没有化简至最后结果扣 1 分，没有最后结论扣 1 分．跟踪演练 8 已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x－y＋12＝0 相切．(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 A(－4,0)，过点 R(3,0)作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，连接 AP，AQ分别交直线 x＝于 M，N 两点，若直线 MR，NR 的斜率分别为 k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得 ∴故椭圆 C 的方程为＋＝1.(2)设直线 PQ 的方程为 x＝my＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M，N.由得(3m2＋4)y2＋18my－21＝0，且 Δ＝(18m)2＋84(3m2＋4)>0，∴y1＋y2＝，y1y2＝.由 A，P，M 三点共线可知，＝，∴yM＝.同理可得 yN＝，∴k1k2＝×＝＝∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7)＝m2y1y2＋7m(y1＋y2)＋49∴k1k2＝＝－，为定值．
