§8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离最新考纲考情考向分析1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的计算问题．2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解．题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想、转化与化归思想.1．两条异面直线所成角的求法设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则l1与 l2所成的角 θa 与 b 的夹角 β范围[0，π]求法cos θ＝cos β＝2.直线与平面所成角的求法设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，a 与 n 的夹角为 β，则 sin θ＝|cos β|＝.3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD 分别是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈AB，CD〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角)．知识拓展利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点 A(x1，y1，z1)，点 B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝.(2)点到平面的距离如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为|BO|＝.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( × )(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．( √ )(5)若二面角 α－a－β 的两个半平面 α，β 的法向量 n1，n2所成角为 θ，则二面角 α－a－β 的大小是 π－θ.( × )题组二 教材改编2．[P104T2]已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A．45° B．135°C．45°或 135° D．90°答案 C解析 cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为 45°或 180°－45°＝135°.3．[P117A 组 T4(2)]如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1...
