第五节 数列的热点问题考点一 数列与函数、不等式的交汇问题【例 1】 已知数列{an}的通项公式为 an＝3n－2.若正项等比数列{bn}满足 b1＝a1，b3＝a2，且 cn＝an·bn，数列{cn}的前 n 项和为 Tn.(1)求 Tn；(2)若对任意 n≥2，n∈N*，均有(Tn－5)m≥6n2－31n＋35 恒成立，求实数 m 的取值范围．【解】 (1)由题知 b1＝1，b3＝4，∴bn＝2n－1，则 cn＝an·bn＝(3n－2)·2n－1，∴Tn＝1×20＋4×21＋…＋(3n－2)·2n－1，2Tn＝1×21＋4×22＋…＋(3n－2)·2n，∴－Tn＝1＋3(21＋22＋…＋2n－1)－(3n－2)·2n＝(5－3n)·2n－5，∴Tn＝(3n－5)·2n＋5.(2) (3n－5)·2n·m≥6n2－31n＋35(n≥2，n∈N*)恒成立，∴m≥＝＝，即 m≥对任意 n≥2，n∈N*恒成立．设 kn＝，则 kn＋1－kn＝－＝，当 n≤4 时，kn＋1>kn；当 n≥5 时，kn＋1an，则 a1的取值范围是( A )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－1,0)解析：由题易得 a>an，∴an(an－1)>0，∴an>1 或 an<0，而当 a1∈[－1,0)时，a3＝a＝a≤a＝a2，不满足题设条件．当 a1∈(－∞，－1)时，a2＝a>1>a1，a3＝a＝a>a＝a2，…，an＋1＝a>an，同理当 a1∈(1，＋∞)时，an＋1＝a>an也成立，故选 A．2．已知数列{an}满足 a1＝，＝＋2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：a＋a＋a＋…＋a<.解：(1)由条件可知数列为等差数列，且首项为 2，公差为 2，故＝2＋2(n－1)＝2n，所以 an＝.(2)证明：由(1)可知 a＝2＝·<··＝，n≥2，所以 a＋a＋a＋…＋a<＝.故 a＋a＋a＋…＋a<.考点二 数列在数学文化中的应用【例 2】 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 ， … . 即 F(1) ＝ F(2) ＝ 1 ， F(n) ＝ F(n － 1) ＋ F(n － 2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4 整除后的余数构成一个新的数列{bn}，又记数列{cn}满足 c1＝b1，c2＝b2...
