第 4 课时 等差数列的前 n 项和1.理解等差数列的前 n 项和.2.应用两个等差数列的前 n 项和公式解决有关等差数列的问题. 3.掌握两个等差数列的前 n 项和公式的推导方法.高斯是数学发展史上有很大影响的伟大数学家之一.高斯十岁时数学老师出了一道题: 1+2+3+…+99+100. 老师刚写完题目高斯就把解题用的小石板交给了老师,上面只有 5050 一个 答 案 . 当 时 高 斯 的 思 路 和 解 答 方 法 是 :S=1+2+3+…+99+100, 把 加 数 倒 序 写 一 遍 :S=100+99+98+…+2+1.∴2S=(1+100)+(2+99)+…+(99+2)+(100+1)=100×101,∴S=50×101=5050.问题 1:利用“高斯的算法”求和:1+2+3+…+n.设 Sn=1+2+3+…+(n-1)+n,又 Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1,∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…+[(n-1)+2]+(n+1)=n(n+1),∴Sn= . 问题 2:用“倒序相加法”证明 Sn=. Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d],∴2Sn= , 由此可得等差数列{an}的前 n 项和公式: . 问题 3:用等差数列的通项公式推导:Sn=na1+×d.Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]=na1+ =na1+[1+2+3+…+(n-1)]d= . 1问题 4:用定义推导 Sn=nan-×d. Sn=an+an-1+an-2+…+a1=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)×d]=nan-(d+2d+3d+…+(n-1)d)= . 1.等差数列{an}中,S10=4S5,则 等于( ).A. B.2 C. D.42.在小于 100 的自然数中,所有被 7 除余 2 的数之和为( ).A.765B.665C.763D.6633.在等差数列中,若 a4=0,a8=8,Sn为数列{an}的前 n 项和,则 S11= . 4.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若 bn=a3n,求数列{bn}的前 9 项和 S9 .前 n 项和公式中变量的求解在等差数列{an}中,已知 a1=20,an=54,Sn=999,求 d,n.考查前 n 项和公式 Sn已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a2+a4=14,S7=70.求 an和 Sn.2前 n 项和公式 Sn与 n 的关联若{an}是等差数列,首项 a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,求使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是多少?已知数列{an}为等差数列.(1)a1= ,d= ,Sn=30,求 n 及 an;(2)d=2,n=15,an=-10,求 a1及 Sn.设 Sn是等差数列{an}的前 n 项和,已知 S3· S4=( S5)2, S3与 S4的等差中项为 1,求数列{an}的通项公式.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a...
