用特征方程求数列得通项一、递推数列特征方程得讨论与探究递推(迭代)就是中学数学中一个非常重要得概念与方法,递推数列问题能力要求高,内在联系密切,蕴含着不少精妙得数学思想与方法。递推数列得特征方程就是怎样来得？ (一)、 若数列满足其通项公式得求法一般采纳如下得参数法,将递推数列转化为等比数列: 设 ,令,即,当时可得,知数列就是以为公比得等比数列,将代入并整理,得、 故数列对应得特征方程就是:x=cx+d (二)、二阶线性递推数列 仿上,用上述参数法我们来探求数列得特征:不妨设,则, 令 ( ※)(1)若方程组( ※)有两组不同得实数解,则, , 即、分别就是公比为、得等比数列,由等比数列通项公式可得 ①, ②, 由上两式①+② 消去可得 、(2)若方程组( ※)有两组相等得解,易证此时,则,,即就是等差数列,由等差数列通项公式可知,所以. 这样,我们通过参数方法,将递推数列转化为等比(差)数列,从而求得二阶线性递推数列得通项,若将方程组(※)消去即得,显然、就就是方程得两根,我们不妨称此方程为二阶线性递推数列得特征方程, 所以有结论: 若递推公式为 则其特征方程为 1、 若方程有两相异根、,则;2、 若方程有两等根,则、 其中、可由初始条件确定。(三)分式线性递推数列(),将上述方法继续类比,仿照前面方法,等式两边同加参数,则 ①, 令,即 ②, 记②得两根为, (1) 若,将分别代入①式可得 , 以上两式相除得,于就是得到为等比数列,其公比为,数列得通项可由求得; (2)若,将代入①式可得,考虑到上式结构特点,两边取倒数得 ③ 由于时方程③得两根满足,∴ 于就是④式可变形为 ∴为等差数列,其公差为, ∴ 数列得通项可由求得.这样,利用上述方法,我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列,从而求得其通项。假如我们引入分式线性递推数列得特征方程为,即,此特征方程得两根恰好就是方程②两根得相反数,于就是我们得到如下结论:分式线性递推数列得特征方程为1、若方程有两相异根、,则成等比数列,其公比为;2、若方程有两等根,则成等差数列,其公差为、 值得指出得就是,上述结论在求相应数列通项公式时固然有用,但将递推数列转化为等比(等差)数列得思想方法更为重要。如对于其它形式得递推数列,我们也可借鉴前面得参数法,求得通项公式,其结论与特征方程法完全一致, 三、例题例1、已知数列且,求通项公式。解 设,∴ 令 , 可得, 于就是 …, ∴,即就是以为首项、为公差得等差数列, ∴,从而、例 2、设数列满足...
