第 37 讲 数列的递推关系与通项考试要求 掌握常见求通项的方法.诊 断 自 测1.(必修 5P41 习题 13 改编)已知等差数列{an}的公差为 d，那么 an－am＝________d.答案 (n－m)2.在数列{an}中，a1＝1，＝，那么 an＝________.解析 当 n≥2 时，an＝a1××××…×＝1××××…×＝，当 n＝1 时也成立，故 an＝.答案 3.若数列{an}满足 a1＝1，an＝n＋an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.解析 由 an＝n＋an－1可变形为 an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，由此可写出以下各式：an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，…，a2－a1＝2，将以上等式两边分别相加，得an－a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2，所以 an＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝.答案 an＝4.在等差数列{an}中，a1＝1，d＝2，Sn＋2－Sn＝24，则 n＝________.解析 因为 a1＝1，d＝2，所以 Sn＝n2，Sn＋2－Sn＝(n＋2)2－n2＝24，解得 n＝5.答案 55.在斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，…中，an，an＋1，an＋2的关系是________.答案 an＋2＝an＋an＋1知 识 梳 理常见求数列通项的几种类型(1)形如 an－an－1＝f(n)(n∈N*且 n≥2)方法：累加法，即当 n∈N*，n≥2 时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(2)形如＝f(n)(n∈N*且 n≥2)方法：累乘法，即当 n∈N*，n≥2 时，an＝··…··a1.注意：n＝1 不一定满足上述形式，所以需检验.(3)形如 an＝pan－1＋q(n∈N*且 n≥2)方法：化为 an＋＝p 的形式.令 bn＝an＋，即 bn＝pbn－1，{bn}为等比数列，从而求得数列{an}的通项公式.(4)形如 an＝pan－1＋f(n)(n∈N*且 n≥2)方法：两边同除 pn，得＝＋，令 bn＝，得 bn＝bn－1＋，转化为利用叠加法求 bn(若为常数，则{bn}为等差数列)，从而求得数列{an}的通项公式.考点一 利用“累乘、累加”法求通项【例 1－1】 (2018·苏北四市联考)已知数列{an}，{bn}，其中 a1＝，数列{an}的前 n 项和Sn＝n2an(n∈N*)，数列{bn}满足 b1＝2，bn＋1＝2bn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)是否存在自然数 m，使得对于任意 n∈N*，n≥2，有 1＋＋＋…＋<恒成立？若存在，求出 m 的最小值.解 (1)因为 Sn＝n2an(n∈N*)，当 n≥2 时，Sn－1＝(n－1)2an－1.所以 an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1.所以(n＋1)an＝(n－1)an－1.即＝，又 a1＝，所以 an＝···…···a1＝···…···＝.当 ...
