第 48 讲 空间几何体的表面积与体积考试要求 1.空间几何体的表面积(A 级要求)，体积(A 级要求)；2.高考对本讲内容的考查以填空题为主.应关注空间几何体表面积、体积的计算问题.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )(3)圆柱的侧面展开图是矩形.( )(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )(5)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R＝a.( )解析 如图中的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱，故(1)错；(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故(2)错.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.(必修 2P69 复习题 5 改编)若长方体相邻的三个面的面积分别是，，，则长方体的体积为________.解析 可求三棱长为 1，，，则体积为 1××＝.答案 3.(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________.解析 设正方体棱长为 a，则 6a2＝18⇒a2＝3，a＝.外接球直径为 2R＝a＝3，R＝，V＝πR3＝π×＝π.答案 4.(必修 2P71 复习题 20 改编)设 P，A，B，C 是球 O 表面上的四点，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA＝1，PB＝，PC＝3，则球 O 的表面积是________.解析 可把 PA，PB，PC 看成长方体从同一个顶点出发的三条棱，则球 O 的半径的大小为＝2，所以球 O 的表面积为 16π.答案 16π5.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________.解析 如图画出圆柱的轴截面 ABCD，O 为球心.球半径 R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝.∴底面圆半径 r＝＝，故圆柱体积 V＝π·r2·h＝π·×1＝.答案 6.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD＝a，则三棱锥 D－ABC 的体积为________.解析 取 AC 的中点 O，连接 DO，BO，△ADC，△ABC 都是等腰直角三角形.因为 DO＝BO＝＝a，BD＝a，所以△BDO 也是等腰直角三角形.又因为 DO⊥AC，DO⊥BO，AC∩BO＝O，所以DO⊥平面 ABC，即 DO 就是三棱锥 D－ABC 的高.因为 S△ABC＝a2，所以三棱锥 D－ABC 的体积为×a2×a＝a3.答案 a3知 识 梳...
