第 2 讲 三角应用题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)三角恒等变换的应用；(2)正弦定理、余弦定理及应用，B 级要求.真 题 感 悟 (2018·江苏卷)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成.已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求 A，B 均在线段 MN 上，C，D 均在圆弧上.设 OC 与 MN 所成的角为 θ.(1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sin θ 的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3，求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.解 (1)如图，设 PO 的延长线交 MN 于点 H，则 PH⊥MN，所以 OH＝10.过 O 作 OE⊥BC 于点 E，则 OE∥MN，所以∠COE＝θ，故 OE＝40cos θ，EC＝40sin θ，则矩形 ABCD 的面积为 2×40cos θ(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)，△CDP 的面积为×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ).过 N 作 GN⊥MN，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，连接 OG，则 GK＝KN＝10.令∠GOK＝θ0，则 sin θ0＝，θ0∈.当 θ∈时，才能作出满足条件的矩形 ABCD，所以 sin θ 的取值范围是.答：矩形 ABCD 的面积为 800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP 的面积为1 600( cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ 的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3，设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k(k>0)，则年总产值为 4k×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝8 000k(sin θcos θ＋cos θ)，θ∈.设 f(θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈，则 f′(θ)＝cos2θ－sin2 θ－sin θ＝－(2sin2θ＋sin θ－1)＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1).令 f′(θ)＝0，得 θ＝，当 θ∈时，f′(θ)>0，所以 f(θ)为增函数；当 θ∈时，f′(θ)<0，所以 f(θ)为减函数，因此，当 θ＝时，f(θ)取到最大值.答：当 θ＝时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.考 点 整 合1.(1)两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos ...
