第 3 讲 立体几何与解析几何应用题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)以空间几何体及其表面积和体积为载体的立体几何应用题；(2)以坐标系、曲线与方程为载体的解析几何应用题.真 题 感 悟 (2017·江苏卷)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32 cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线 EG，E1G1的长分别为 14 cm 和 62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12 cm.现有一根玻璃棒l，其长度为 40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计).(1)将 l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1上，求 l 没入水中部分的长度；(2)将 l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1上，求 l 没入水中部分的长度.解 (1)由正棱柱的定义，CC1⊥平面 ABCD，所以平面 A1ACC1⊥平面 ABCD，CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在 CC1上点 M 处.因为 AC＝10，AM＝40，所以 MC＝＝30，从而 sin∠MAC＝.记 AM 与水面的交点为 P1，过 P1作 P1Q1⊥AC，Q1为垂足，则 P1Q1⊥平面 ABCD，故 P1Q1＝12，从而 AP1＝＝16.答：玻璃棒 l 没入水中的部分的长度为 16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24 cm)(2)如图，O，O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO1⊥平面 EFGH，所以平面 E1EGG1⊥平面 EFGH，O1O⊥EG.同理，平面 E1EGG1⊥平面 E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在 GG1上点 N 处.过 G 作 GK⊥E1G1，K 为垂足，则 GK＝OO1＝32.因为 EG＝14，E1G1＝62，所以 KG1＝＝24，从而 GG1＝＝＝40.设∠EGG1＝α，∠ENG＝β，则 sin α＝sin＝cos∠KGG1＝.因为<α<π，所以 cos α＝－.在△ENG 中，由正弦定理可得＝，解得 sin β＝.因为 0<β<，所以 cos β＝.于是 sin∠NEG＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.记 EN 与水面的交点为 P2，过 P2作 P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则 P2Q2⊥平面 EFGH，故 P2Q2＝12，从而 EP2＝＝20.答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20 cm)考 点 整 合1.柱、锥、台和球的表面积和体积面积体积圆柱S 侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S 侧＝πrlV＝Sh＝πr2h＝πr2圆台S 侧＝π(r1＋r2)lV＝(S 上＋S 下＋)h＝...
