第三课时 导数在不等式中的应用考点一 构造函数证明不等式 多维探究角度 1 直接构造函数证明不等式【例 1－1】 (2020·济南调研)已知函数 f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线 y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是 A(1，1)，且在点 A 处的切线互相垂直
(1)求 a，b 的值；(2)证明：当 x≥1 时，f(x)＋g(x)≥
(1)解 因为 f(x)＝1－，所以 f′(x)＝，f′(1)＝－1
因为 g(x)＝＋－bx，所以 g′(x)＝－－－b
因为曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)的一个公共点是 A(1，1)，且在点 A 处的切线互相垂直，所以 g(1)＝1，且 f′(1)·g′(1)＝－1
从而 g(1)＝a＋1－b＝1，且 g′(1)＝－a－b－1＝1
解得 a＝b＝－1
(2)证明 由(1)知，g(x)＝－＋＋x，则 f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0
令 h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，则 h(1)＝0，h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1
因为 x≥1，所以 h′(x)＝＋＋1>0，所以 h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以 h(x)≥h(1)＝0，即 1－－－＋x≥0
故当 x≥1 时，f(x)＋g(x)≥
角度 2 适当放缩构造函数证明不等式【例 1－2】 (2018·全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝aex－ln x－1
(1)设 x＝2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a≥时，f(x)≥0
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－
由题设知，f′(2)＝0，所以 a＝
从而 f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－
设 g(x)＝－ln x－1(x>0)，则 g′(x)＝－(x>0)
当 00 时，g(x)≥g(1)＝0
因此，当 a≥时，f(
