（江苏专用）新高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2节 导数在研究函数中的应用 第三课时 导数在不等式中的应用学案-人教版高三全册数学学案

第三课时 导数在不等式中的应用考点一 构造函数证明不等式 多维探究角度 1 直接构造函数证明不等式【例 1－1】 (2020·济南调研)已知函数 f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线 y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是 A(1，1)，且在点 A 处的切线互相垂直.(1)求 a，b 的值；(2)证明：当 x≥1 时，f(x)＋g(x)≥.(1)解 因为 f(x)＝1－，所以 f′(x)＝，f′(1)＝－1.因为 g(x)＝＋－bx，所以 g′(x)＝－－－b.因为曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)的一个公共点是 A(1，1)，且在点 A 处的切线互相垂直，所以 g(1)＝1，且 f′(1)·g′(1)＝－1.从而 g(1)＝a＋1－b＝1，且 g′(1)＝－a－b－1＝1.解得 a＝b＝－1.(2)证明 由(1)知，g(x)＝－＋＋x，则 f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0.令 h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，则 h(1)＝0，h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1.因为 x≥1，所以 h′(x)＝＋＋1>0，所以 h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以 h(x)≥h(1)＝0，即 1－－－＋x≥0.故当 x≥1 时，f(x)＋g(x)≥.角度 2 适当放缩构造函数证明不等式【例 1－2】 (2018·全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝aex－ln x－1.(1)设 x＝2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a≥时，f(x)≥0.(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.由题设知，f′(2)＝0，所以 a＝.从而 f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.当 02 时，f′(x)>0.所以 f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.(2)证明 当 a≥时，f(x)≥－ln x－1(x>0).设 g(x)＝－ln x－1(x>0)，则 g′(x)＝－(x>0).当 01 时，g′(x)>0.所以 x＝1 是 g(x)的最小值点.故当 x>0 时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当 a≥时，f(x)≥0.规律方法 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明.常用的两种构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式 f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数 h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如 ln x≤x－1，ex≥x＋1；ln x0)，≤ln(x＋1)≤x(x>－1)等.【训练 1】 (1)(角度 1)已知函数 f(x)＝ln x.① 求函数 g(x)＝f(x－1)－x＋2 的最大值；② 已知 0