第 2 节 导数在研究函数中的应用考试要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；4.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.知 识 梳 理1.函数的单调性与导数的关系对于函数 y＝f(x)，如果在某区间上 f′(x)＞0，那么 f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上 f′(x)＜0，那么 f(x)为该区间上的减函数.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f′(x)；(3)由 f′(x)＞0(或＜0)解出相应的 x 的取值范围.当 f′(x)＞0 时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当 f′(x)＜0 时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.一般需要通过列表，写出函数的单调区间.3.函数的极值(1)一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法① 极大值与导数的关系xx1左侧x1x1右侧f′(x)f′(x)＞0f′(x)＝0f′(x)＜0f(x)增极大值 f(x1)减② 极小值与导数的关系xx2左侧x2x2右侧f′(x)f′(x)＜0f′(x)＝0f′(x)＞0f(x)减极小值 f(x2)增(2)求可导函数极值的步骤① 求 f′(x)；② 求方程 f′(x)＝0 的根；③ 考查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值.4.求函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤：(1)第一步：求 f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)第二步：将第一步中求得的极值与 f(a)，f(b)比较，得到 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.[常用结论与微点提醒]1.若函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，所以“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数 f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数 f(x)在 x＝x0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)>0...
