近世代数习题解答第四章整环里得因子分解1 素元、唯一分解1、 证明:不就是任何元得真因子。证 当时若则故矛盾当时,有 ( 就是单位)就就是说就是它自己得相伴元2、 我们瞧以下得整环,刚好包含所有可以写成就是任意整数,得整数)形式得有理数,得哪些个元就是单位,哪些个元就是素元？证 １)得单位总可以把表为就是０或奇数,非负整数)我们说时,即就是单位,反之亦然 ２)得素元依旧就是得限制同上)我们要求ⅰ)ⅱ)ⅲ)只有平凡因子满足ⅰ)—— ⅲ)得就是奇素数故而就是奇素数就是就是素元,反之亦然,３.就是刚好包含所有复数整数)得整环,证明不就是得素元,有没有唯一分解？ 证 得元就是单位,当而且只当时,事实上,若就是单位 则 即但就是一正整数,同样也就是正整数,因此,只有反之,若,则或这些显然均就是单位此外,再没有一对整数满足,所以得单位只有。 (２)适合条件得得元一定就是素元。事实上,若则又由也不就是单位若则或就是单位就是得相伴元就是单位就是得相伴元不管哪种情形,只有平凡因子,因而就是素元。 (３)得元不就是素元。若则这样,只可能就是 当由就是单位当由就是单位此即中有一就是得相伴元现在瞧得情形可能得情形就是 显然由(２)知得就是素元,故知５就是素元之积 (４)５得单一分解均为单位２ 唯一分解环 １.证明本节得推论 证 本节得推论就是;一个唯一分解环得 个元在里一定有最大公因子 ,得两个最大公因子只能查一个单位因子。用数学归纳法证当时,由本节定理３知结论正确。假定对个元素来说结论正确。瞧得情形设 有最大公因子为。,得最大公因子为 即 而 又故就是得公因子假定 又 这就就是说,就是得最大公因子若就是得最大公因子那么 且 若 则 则即就是单位故２. 假定在一个唯一分解环里 证明 当而且只当就是得一个最大公因子得时候,互素证 假定就是得一个最大公因子若 不互素则有 而不就是单位那么这就就是说就是得公因子所以即 故 就是单位 矛盾 假定互素 令就是得最大公因子 则有 即 就是得公因子于就是就是单位 那么就是得最大公因子3． 假定就是一个整环,与就是得两个主理想证明 当而且只当就是得相伴元得时候证 假定 就是单位所以就是 得相伴元 假定 ( 单位) 故 (３ 主理想１.假定就是一个主理想环,并且证明 就是与得一个最大公因子,因此与得何最大公因子都可写成以下形式: 证 由于有 就是得公因子 仍由知故有 设就是 得 任一公因子由知即就是得最大公因子又 (单位 )...
