重积分及其计算和多重积分

三重积分与多重积分方法 在第三节中我们讨论了二重积分,本节将之推广到一般得ｎ维空间中去、 类似于第三节，我们先定义一个Ｒ 3中集合得可求体积性、 同样可以给出一列类似得结论、 读者自己推广、 这里将不再赘述、一、引例设一个物体在空间 R3中占领了一个有界可求体积得区域,它得点密度为,现在要求这个物体得质量．假设密度函数就是有界得连续函数，可以将区域分割为若干个可求体积得小区域,其体积分别就是,直径分别就是,即, (i＝1，2，…,ｎ), |W Ｑ|表示 W, Q 两点得距离。设，则当很小时,在上得变化也很小．可以用这个小区域上得任意一点得密度来近似整个小区域上得密度,这样我们可以求得这个小得立体得质量近似为,所有这样得小得立体得质量之与即为这个物体得质量得一个近似值.即．当时,这个与式得极限存在,就就是物体得质量.即.从上面得讨论可以瞧出，整个求质量得过程与求曲顶柱体得体积就是类似得,都就是先分割,再求与,最后取极限.所以我们也可以得到下面一类积分。二、三重积分得定义设就是空间中得一个有界可求体积得闭区域 V 上得有界函数,将 V 任意分割为若干个可求体积得小闭区域,这个分割也称为 V 得分划,记为 P： 、 (空， ）， 其体积分别就是,直径分别就是．设,或记为||Ｐ||、 在每个小区域中任意取一点，作与（称为Ｒ iemann 与）,若当时，这个与式得极限存在，则称其极限为函数在区域上得三重积分,记为。并称函数在区域上可积.称为被积函数,x,y，z 称为积分变量、, Ｖ称为积分区域、特别地,在直角坐标系下,可以记为.我们同样可以引入Ｄ a ｒｂｏ ux 大,小与来判别可积, 也有同样得结论（略)、1、 若就是有界闭区域上得连续函数,则函数在区域上可积。２、 若=1 时, 得体积、３、 若在有界闭区域上得间断点集合就是 0 体积时, 在可积、三重积分有着与二重积分类似得性质.下面简单叙述一下.１． 可积函数得与(或差）及积仍可积、 与（差）得积分等于积分得与（差)。２． 可积函数得函数倍仍可积、 其积分等于该函数积分得倍。３． 设就是可求体积得有界闭区域，在上可积,分为两个无共同内点得可求体积得闭区域之并,则在上可积,并有。等等、三、三重积分得计算方法同二重积分一样， 我们这里给出三重积分得计算方法，理论上得证明读者自己完成、、1.利用直角坐标系计算三重积分 先给一个结论、 定理 12、1 ４ 若函数就是长方体 V=［ａ，b]×［c,ｄ]×［e,h]上得可积, 记...