数学专题 对数与对数运算(老师版)二、点击考点［考题 1］求下列各式得(1);(2);(3);(4)［解析］(1)由,得,即;(2)由,得,即,故;(3)由,得故;(4)由,得故［点评］对数得定义就是对数形式与指数形式互化得依据,而对数形式与指数形式得互化又就是解决问题重要手段。［考题 2］求下列各式得值:(1);(2);(3)［分析］利用对数得性质求解,首先要明确解题目目标就是化异为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间得联系,对于复杂得真数,可以先化简再计算。［解析］(1)原式(2)原式===(3) ∴原式［点评］对数得求值一般有两种方法:一种就是将式中真数得积、商、幂、方根利用对数得运算性质将它们化为对数得与、差、积、商,然后化简求值;另一种方法就是将式中得与、差、积、商运用对数得运算法则将它们化为真数得积、商、幂、方根,然后化简求值。［考题 3］已知求［解析］已知条件与所求对数得底就是不相同得,因此考虑应用换底公式。解法一: ,∴∴解法二: ,∴∴解法三: ∴∴［点评］本题还有其她方法,这里,都就是把指数式改写为对数式,再把所求对数通过换底公式换成与它相同底数得对数,以便利用已知条件与对数得性质求解。［考题 4］(1)设,求得值、(2)已知均大于 1,,求［分析］(1)首先将指数式化为对数式,再利用对数得性质进行计算。(2)观察已知条件,真数相同,底数不同,若将拆成、、,则问题获得解决,因此,要多次使用等式［解析］(1) ∴∴,∴(2)由得由得,由得,即∴,解得∴［点评］(1)本题(1)通过将、得值用换底公式转化为同底数得对数,再利用对数得运算法则求值,此外,我们还可以用换底公式得到一个常用得关系式,常用来把分式转化为整式。(2)对数得换底公式在解题中起着重要得转化作用,能够将不同底得问题转化为同底,从而使我们利用对数得运算性质解题得想法得以实现。［考题 5］已知、、为正数,且,求得取值范围、［解析］ ∴∴ ,∴上式关于得方程有实根。∴、∴∴,或∴或［点评］对数知识又常常与其她知识交汇在一起,构成较复杂得题目,如此题与方程、不等式综合,这时首先要牢牢掌握对数得定义,注意其与指数式得转化;灵活运用运算法则就可使问题得到解决。［考题 6］科学讨论表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳-14,碳-14 得衰变极有规律,其精确性可以称为自然界得“标准时钟”。动植物在生长过程中衰变得碳-14,可以通过与大气得相互作用得到补充,所以活着得动植物每克组织中得碳-14 含量保持不变,死亡后得动植物,停止了与外界环境得相互作用,...
