利用直线参数方程 t 的几何性质解题(3页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。利用直线参数方程 t 的几何性质解题过定点、倾斜角为的直线 的参数方程为（t 为参数），其中 t 表示直线 上以定点为起点，任意一点 M（x，y）为终点的有向线段的数量，由此，易得参数 t 具有如下 的性质：若直线 上两点A、B 所对应的参数分别为，则性质一：A、B 两点之间的距离为，特别地，A、B 两点到的距离分别为性质二：A、B 两点的中点所对应的参数为，若是线段 AB 的中点，则，反之亦然。 在解题时若能运用参数 t 的上述性质，则可起到事半功倍的效果。应用一：求距离例 1、直线 过点，倾斜角为，且与圆相交于 A、B两点。（1）求弦长 AB.（2）求和的长。解：因为直线 过点，倾斜角为，所以直线 的参数方程为，即，（t 为参数），代入圆方程，得，整理得（1）设 A、B 所对应的参数分别为，所以，，所以（2）解方程得，，所以，应用二：求点的坐标例 2、直线 过点，倾斜角为，求出直线 上与点相距为 4的点的坐标。解：因为直线 过点，倾斜角为，所以直线 的参数方程为，即，（t 为参数）， （1）设直线 上与已知点相距为 4 的点为 M 点，且 M 点对应的参数为 t，则，所以，将 t 的值代入（1）式，当 t＝4 时，M 点的坐标为；当 t＝－4 时，M 点的坐标为，综上，所求 M 点的坐标为或. 点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求 M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数 t 的几何意义求 M 点的坐标较容易。应用三：解决有关弦的中点问题例 3、过点，倾斜角为的直线 和抛物线相交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 点的坐标。解：直线 过点，倾斜角为，所以直线 的参数方程为，（t 为参数），因为直线 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程中，得：，整理得，，设这个二次方程的两个根为，由韦达定理得，由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得，易知中点 M 所对应的参数为，将此值代入直线的参数方程得，M 点的坐标为（2，1） 点评：对于上述直线 的参数方程，A、B 两点对应的参数为，则它们的中点所对应的参数为（}>;】#；!（@)}|-^*—…。。#》~)*<,<~；
